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导数&三角函数“强强联姻”:2020高考命题“最新亮点”!考生务必重视

高中数学由于导数的引入,使得研究函数单调性和最值的方法更加丰富。三角函数也是函数,当然也可以借助导数来研究三角函数问题。

对于三角函数的单调性、奇偶性、对称性、最值问题、含参问题或者相关综合性问题,借助导数进行研究能更充分地考查数学思想方法,运算求解能力,综合应变与解题调控能力,也能很好地彰显考生解题方法的灵活性,多样性与独创性,从而备受命题者的青睐。

不少高考试题和高三综合试题均在三角函数和导数交汇处进行命题,以下举例说明。

命题点1:借助导数研究三角函数的单调性,奇偶性,对称性问题

角度一:

单调性问题

例题1:2018年全国II卷第10题

例题2

角度二:奇偶性问题可导奇函数的导函数为偶函数,可导偶函数的导函数为奇函数.

例题3

例题4

角度三:对称性问题

例题5

例题6

命题点2:借助导数求三角函数的最值

试题借助导数考查三角函数的单调性,进而求出最值.

例题7:2018年全国I卷第16题

例题8:2013年全国卷选择第12题

例题9:2018年江苏卷第17题

简析:本题以现实生活中的农田地块设计为背景,考查三角函数在现实生活中的应用,是数学建模思想的一个重要体现.对于第二步求总产值的最大值问题,必须先将总产值表示成关于Φ的一元函数模型,然后借助函数求最值的方法求出最大值,实际上是求f(Φ)=sinΦcosΦ+cosΦ的最大值,借助导数,十分简捷,计算量小,大道至简.

命题点3:借助导数求三角函数的极值点

试题结合三角函数的图象与性质,紧扣极值点的概念进行求解.要求对极值点的概念有深刻的认识.

例题10

例题11

例题12

命题点4:借助导数求三角函数的零点问题

借助导数考查三角函数的零点问题,经常与零点存在性定理一起使用,证明在某个区间内存在唯一零点.

例题13

例题14:2013年福建卷第20题

命题点5:借助导数求三角函数的零点问题

以三角函数和直线方程为载体,借助导数研究问题,综合性较强,凸显多思少算.

例题15

例题16

例题17

例题18

练习1

练习2

练习3:2014年大纲卷第16题

练习4:2012年高考新课标理科

练习5

练习6

练习7

练习8

不难发现,以三角函数为载体,融合函数、导数、不等式等重要知识点于一体,是此类试题的一大特色。

充分体现数学知识本质联系,突出考查函数的性质、导数、不等式等知识及数学思想方法的灵活应用。

这类题目能够较好地考查学生运算求解能力,推理论证能力,数学核心素养,具有很好的启智功能,导向功能。因此,在复习备考中应该引起我们足够的重视。

【作者简介】苏艺伟,中学数学教师,福建省龙海第一中学高中部,近三年发表CN论文一百余篇,主要研究高考试题,高中数学课堂教学。

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